壹｜深渊凝视#

问题：求下列极限

爱丽丝的碎碎念：站在深渊边缘往下望，你看到的究竟是恐惧，还是更深层的自己？就像这道极限，表面恐怖，内核优雅。

解答：

利用斯特林公式 $n! \sim \sqrt{2\pi n} (n/e)^n$

$\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$

取 $n$ 次方根： $\sqrt[n]{\binom{2n}{n}} \sim 4 \cdot \pi^{-1/(2n)} \cdot n^{-1/(2n)} \to 4$

答案：$\boxed{4}$

贰｜镜中矩阵#

问题：设 $A$ 为 $n \times n$ 实矩阵，满足 $A^3 = A + I$，其中 $I$ 为单位矩阵。

求证：$A$ 可逆，并求 $A^{-1}$ 关于 $A$ 的表达式。

爱丽丝的碎碎念：镜子里的人是你吗？如果 $A^3$ 只比 $A$ 多了一点点，那镜子里的倒影又藏着什么秘密？

解答：

从条件 $A^3 = A + I$ 移项得： $A^3 - A = I$

因式分解： $A(A^2 - I) = I$

这说明 $A^2 - I$ 是 $A$ 的右逆。

同理，$(A^2 - I)A = A^3 - A = I$，说明它也是左逆。

因此 $A$ 可逆，且：

答案：$\boxed{A^{-1} = A^2 - I}$

叁｜疯帽匠的积分帽#

问题：计算下列积分 $I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2025} x}{\sin^{2025} x + \cos^{2025} x} dx$

爱丽丝的碎碎念：疯帽匠的帽子里有茶会、有谜语，还有无穷无尽的可能性。这道积分看起来和幂次有关，但答案却和幂次无关——是不是很疯帽匠？

解答：

令换元 $x = \frac{\pi}{2} - t$，则 $dx = -dt$

当 $x = 0$ 时 $t = \frac{\pi}{2}$，当 $x = \frac{\pi}{2}$ 时 $t = 0$

$I = \int_{\pi/2}^{0} \frac{\cos^{2025} t}{\cos^{2025} t + \sin^{2025} t} (-dt) = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2025} x}{\sin^{2025} x + \cos^{2025} x} dx$

将原式与换元后的式子相加：

$2I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2025} x + \cos^{2025} x}{\sin^{2025} x + \cos^{2025} x} dx = \int_0^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}$

答案：$\boxed{I = \frac{\pi}{4}}$

有趣的是，这个结果和指数 2025 完全无关！换成任何正实数幂次，结果都是 $\pi/4$。

肆｜兔子洞的时钟#

问题：爱丽丝掉进了兔子洞，发现这里的时间很特别。

如果在第 $k$ 分钟，她会遇到 $\tau(k)$ 个奇妙生物（$\tau(k)$ 为 $k$ 的正因子个数）。

问：在 $n$ 分钟内，她一共会遇到多少个奇妙生物？求渐进阶。

即求 $\sum_{k=1}^n \tau(k)$ 的渐近表达式。

爱丽丝的碎碎念：兔子洞里时间是不存在的，只有因子在跳舞。每一分钟遇到的新生物数量，恰好等于这一分钟的编号有多少个因子——简直像是数论和童话的完美联姻。

解答：

$\sum_{k=1}^n \tau(k) = \sum_{k=1}^n \sum_{d|k} 1 = \sum_{d=1}^n \sum_{\substack{k \leq n \\ d|k}} 1 = \sum_{d=1}^n \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor$

利用 $\lfloor x \rfloor = x - \{x\}$，其中 $\{x\}$ 是小数部分：

$\sum_{d=1}^n \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor = n \sum_{d=1}^n \frac{1}{d} - \sum_{d=1}^n \left\{\frac{n}{d}\right\}$

由调和级数渐近：$\sum_{d=1}^n \frac{1}{d} = \ln n + \gamma + O(1/n)$

以及误差项估计：$\sum_{d=1}^n \left\{\frac{n}{d}\right\} = (1-\gamma)n + O(\sqrt{n})$

（利用双曲线法可得误差阶为 $O(\sqrt{n})$）

综合得：

答案：$\boxed{\sum_{k=1}^n \tau(k) = n \ln n + (2\gamma - 1)n + O(\sqrt{n})}$

其中 $\gamma \approx 0.5772156649...$ 为欧拉-马歇罗尼常数。

写在最后#

四道题，四种思维方式：

• 极限 教我们看清趋势的归宿
• 矩阵 展示代数结构的内在对称
• 积分 揭示变量替换的魔法
• 数论 带我们进入整数世界的优雅

就像掉进了兔子洞的爱丽丝，数学的世界也是充满惊喜和奇遇的。

如果你解出来了，恭喜你！如果卡住了，不妨再试一次——毕竟，兔子洞里从来没有标准答案，只有不断探索的勇气。